Fonction Logarithme - Spécialité

Bac

Exercice 1 : Bac S 2013 métropole - Exercice 2 - Etude d'une fonction

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé \( \left(O ; \vec{i} , \vec{j} \right)\), la courbe représentative \( \mathcal{C} \) d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \(\left]0; +\infty\right[\).

On dispose des informations suivantes :
  • - les points \(A\), \(B\), \(C\) ont pour coordonnées respectives (\(1, 0)\), \((1, 4)\), \((0, 4)\)
  • - la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point \(B\) et la droite \((BC)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\)
  • - il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel strictement positif \(x\), \[ f (x) = \frac{a + b \operatorname{ln} x}{x} \]
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f(1)\).
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f'(1)\).
Soit \(x \in \left]0; +\infty\right[\).
Donner la dérivée de \(f\) en \(x\) en fonction de \(a\) et de \(b\).
En déduire \(a\).
En déduire \(b\).

Exercice 2 : Bac S 2013 métropole - Exercice 2 - Etude d'une fonction

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé \( \left(O ; \vec{i} , \vec{j} \right)\), la courbe représentative \( \mathcal{C} \) d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \(\left]0; +\infty\right[\).

On dispose des informations suivantes :
  • - les points \(A\), \(B\), \(C\) ont pour coordonnées respectives (\(1, 0)\), \((1, 2)\), \((0, 2)\)
  • - la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point \(B\) et la droite \((BC)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\)
  • - il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel strictement positif \(x\), \[ f (x) = \frac{a + b \operatorname{ln} x}{x} \]
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f(1)\).
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f'(1)\).
Soit \(x \in \left]0; +\infty\right[\).
Donner la dérivée de \(f\) en \(x\) en fonction de \(a\) et de \(b\).
En déduire \(a\).
En déduire \(b\).

Exercice 3 : Bac S 2013 métropole - Exercice 2 - Etude d'une fonction

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé \( \left(O ; \vec{i} , \vec{j} \right)\), la courbe représentative \( \mathcal{C} \) d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \(\left]0; +\infty\right[\).

On dispose des informations suivantes :
  • - les points \(A\), \(B\), \(C\) ont pour coordonnées respectives (\(1, 0)\), \((1, 5)\), \((0, 5)\)
  • - la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point \(B\) et la droite \((BC)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\)
  • - il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel strictement positif \(x\), \[ f (x) = \frac{a + b \operatorname{ln} x}{x} \]
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f(1)\).
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f'(1)\).
Soit \(x \in \left]0; +\infty\right[\).
Donner la dérivée de \(f\) en \(x\) en fonction de \(a\) et de \(b\).
En déduire \(a\).
En déduire \(b\).

Exercice 4 : Bac S 2013 métropole - Exercice 2 - Etude d'une fonction

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé \( \left(O ; \vec{i} , \vec{j} \right)\), la courbe représentative \( \mathcal{C} \) d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \(\left]0; +\infty\right[\).

On dispose des informations suivantes :
  • - les points \(A\), \(B\), \(C\) ont pour coordonnées respectives (\(1, 0)\), \((1, 2)\), \((0, 2)\)
  • - la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point \(B\) et la droite \((BC)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\)
  • - il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel strictement positif \(x\), \[ f (x) = \frac{a + b \operatorname{ln} x}{x} \]
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f(1)\).
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f'(1)\).
Soit \(x \in \left]0; +\infty\right[\).
Donner la dérivée de \(f\) en \(x\) en fonction de \(a\) et de \(b\).
En déduire \(a\).
En déduire \(b\).

Exercice 5 : Bac S 2013 métropole - Exercice 2 - Etude d'une fonction

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé \( \left(O ; \vec{i} , \vec{j} \right)\), la courbe représentative \( \mathcal{C} \) d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \(\left]0; +\infty\right[\).

On dispose des informations suivantes :
  • - les points \(A\), \(B\), \(C\) ont pour coordonnées respectives (\(1, 0)\), \((1, 6)\), \((0, 6)\)
  • - la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point \(B\) et la droite \((BC)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\)
  • - il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel strictement positif \(x\), \[ f (x) = \frac{a + b \operatorname{ln} x}{x} \]
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f(1)\).
En utilisant le graphique, donner la valeur de \(f'(1)\).
Soit \(x \in \left]0; +\infty\right[\).
Donner la dérivée de \(f\) en \(x\) en fonction de \(a\) et de \(b\).
En déduire \(a\).
En déduire \(b\).
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False